快速排序

快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序 n 个项目要Ο(n log n)次比较。在最坏状况下则需要Ο(n2)次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他Ο(n log n) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实现出来。

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略来把一个串行（list）分为两个子串行（sub-lists）。

基本思路

快速排序是基于分治模式处理的，对一个典型子数组A[p...r]排序的分治过程为三个步骤： 1.分解： A[p..r]被划分为俩个（可能空）的子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，使得 A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r] 2.解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。 3.合并。

算法步骤：

1 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot），

2 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。

3 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会退出，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

伪代码(来自算法导论)

QUICK_SORT(A,p,r)
    if(p<r)
        then q <—— PARTITION(A,p,r)
             QUICK_SORT(A,p,q-1)
             QUICK_SORT(A,q+1,r)

//核心函数，对数组A[p,r]进行就地重排，将小于A[r]的数移到数组前半部分，将大于A[r]的数移到数组后半部分。
PARTITION(A,p,r)
    pivot <—— A[r]
    i <—— p-1
    for j <—— p to r-1
        do if A[j] < pivot
            i <—— i+1
            exchange A[i]<——>A[j]
    exchange A[i+1]<——>A[r]
return i+1

算法复杂度

• 最坏情况下的快排时间复杂度：

最坏情况发生在划分过程产生的俩个区域分别包含n-1个元素和一个0元素的时候， 即假设算法每一次递归调用过程中都出现了，这种划分不对称。那么划分的代价为O（n）， 因为对一个大小为0的数组递归调用后，返回T（0）=O（1）。 估算法的运行时间可以递归的表示为：

T（n）=T（n-1）+T（0）+O（n)=T(n-1)+O(n). 可以证明为T（n）=O（n^2）。

因此，如果在算法的每一层递归上，划分都是最大程度不对称的，那么算法的运行时间就是O（n^2）。

• 最快情况下快排时间复杂度：

最快情况下，即PARTITION可能做的最平衡的划分中，得到的每个子问题都不能大于n/2. 因为其中一个子问题的大小为|n/2|。另一个子问题的大小为|-n/2-|-1. 在这种情况下，快速排序的速度要快得多： T(n)<=2T（n/2）+O（n）.可以证得，T（n）=O（nlgn）。

php实现

function quick_sort($arr){
    $count = count($arr);
    if($count <= 1) return $arr;
    $key = $arr[0];
    $left_arr = array();
    $right_arr = array();
    for($i = 1 ; $i<$count ; $i++){
        if($arr[$i] <= $key)
            $left_arr[] = $arr[$i];
        else
            $right_arr[] = $arr[$i];
    }
    $left_arr = quick_sort($left_arr);
    $right_arr = quick_sort($right_arr);
    return array_merge($left_arr,array($key),$right_arr);
}